Traité de géométrie supérieure

Name: Traité de géométrie supérieure
Brand: Chasles, Michel
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Audience : Adulte - Haut niveau

Le Pitch

SommaireTABLE DES MATIÈRES.Pages.PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITIONVPREMIÈRE SECTION. - Principes fondamentaux. - Théorie du rapport anharmonique; de la division homograpspanque et de l'involution1CHAPITRE Ier. - AVERTISSEMENT RELATIF A L'USAGE DES SIGNES + ET -, POUR DÉTERMINER LA DIRECTION DES SEGMENTS RECTILIGNES OU DES ANGLES1CHAPITRE II. - RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS, DE QUATRE DROITES ET DE QUATRE PLANS7§ I. - Premières notions7§ II. - Propriétés géométriques du rapport anharmonique11§ III. - Propriétés de quatre points situés en ligne droite et doeun faisceau de quatre droites15§ IV. - Formules pour le changement d?origine des segments rectilignes ou des angles18§ V. - Propriétés de quatre points situés sur une circonférence de cercle. - Formules fondamentales de la Trigonométrie. - Propriétés du quadrilatère inscriptible au cercle20§ VI. - Relations entre les trois rapports anharmoniques doeun système de quatre points ou doeun faisceau de quatre droites22§ VII. - Nouvelles expressions du rapport anharmonique de quatre points ou doeun faisceau de quatre droites23CHAPITRE III. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX SYSTÈMES DE QUATRE POINTS SITUÉS SUR DEUX DROITES, OU A DEUX FAISCEAUX DE QUATRE DROITES, QUI ONT UN MÊME RAPPORT ANHARMONIQUE28§ I. - Deux systèmes de quatre points28§ II. - Deux faisceaux de quatre droites31§ III. - Manières d?exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points32§ IV. - Manières d?exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droites34§ V. - Manières d?exprimer quoeun faisceau de quatre droites a son rapport anharmonique égal à celui de quatre points35CHAPITRE IV. - RAPPORT HARMONIQUE DE QUATRE POINTS OU D?UN FAISCEAU DE QUATRE DROITES37§ I. - Rapport harmonique de quatre points37§ II. - Manières d?exprimer que quatre points sont en rapport harmonique.40§ III. - Relations où entre un point arbitraire41§ IV. - Relations où entrent les points milieux des deux segments en rapport harmonique44§ V. - Relations où entrent deux points arbitraires46§ VI. - Connaissant, dans une proportion harmonique, deux points conjugués et le milieu des deux autres, trouver ceux-ci49§ VII. - Faisceau de quatre droites en rapport harmonique50§ VIII. - Relations entre quatre droites en rapport harmonique51CHAPITRE V. - DU SYSTÈME DE DEUX POINTS OU DE DEUX DROITES IMAGINAIRES54§ I. - Manière de déterminer simultanément deux points sur une droite. - Points imaginaires54§ II. - Relations entre des points réels et des points imaginaires57§ III. - Autres éléments par lesquels on peut déterminer deux points imaginaires59§ IV. - Du système de deux points imaginaires en rapport harmonique avec deux points réels61§ V. - Manière de déterminer simultanément deux droites conjuguées passant par un point donné. - Droites imaginaires62CHAPITRE VI. - THÉORIE DE LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE64§ I. - Divisions homograpspanques de deux droites. - Faisceaux homograpspanques64§ II. - Propriétés géométriques de deux droites divisées homograpspanquement, et de deux faisceaux homograpspanques67§ III. - Construction doeun quatrième point ou doeun quatrième rayon, dans deux systèmes de quatre points, ou deux faisceaux de quatre droites, dont les rapports anharmoniques sont égaux73CHAPITRE VII. - DIFFÉRENTES MANIÈRES D?EXPRIMER LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE DE DEUX DROITES OU L'HOMOGRAPHIE DE DEUX FAISCEAUX77§ I. - Division homograpspanque de deux droites77§ II. - Faisceaux homograpspanques95CHAPITRE VIII. - DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE. - FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES AYANT LE MÊME CENTRE100§ I. - Divisions homograpspanques formées sur une même droite. - Points doubles. - Point milieu des deux points doubles100§ II. - Diverses manières d?exprimerdeux divisions homograpspanques sur une même droite105§ III. - Cas où les deux points doubles coïncident107§ IV. - Propriétés de deux divisions homograpspanques dont les points doubles sont imaginaires111§ V. - Cas particulier des divisions homograpspanques sur une même droite - Divisions en involution113§ VI. - Faisceaux homograpspanques qui ont le même centre. - Rayons doubles115§ VII. - Propriétés de deux faisceaux homograpspanques dont les rayons doubles sont imaginaires117CHAPITRE IX. - THÉORIE DE L'INVOLUTION119§ I. - Involution de six points. - Relations à six et à huit segments119§ II. - Cas particuliers de l'involution de six points123§ III. - Propriétés de six points en involution. - Point central. - Points doubles129§ IV. - Construction du point central, des deux points doubles et du sixième point doeune involution136§ V. - Relation entre six points en involution, dans laquelle entre un point arbitraire141§ VI. - Manières d?exprimer l'involution par les éléments ou les équations des trois couples de points conjugués145§ VII. - Relations où entrent les points milieux des trois couples de points en involution147§ VIII.- Relations diverses149§ IX. - Relations où entrent deux points arbitraires152§ X. - De trois segments en involution, deux étant donnés avec le point milieu du troisième, déterminer celui-ci154CHAPITRE X. - DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES EN INVOLUTION157CHAPITRE XI. - FAISCEAUX EN INVOLUTION162§ I. - Faisceau de six droites en involution162§ II. - Faisceaux homograpspanques en involution164§ III. - Manières d?exprimer que deux faisceaux homograpspanques sont en involution166CHAPITRE XII. - DES DEUX POINTS QUI DIVISENT HARMONIQUEMENT DEUX SEGMENTS DONNÉS168CHAPITRE XIII. - PROPOSITIONS RELATIVES A DEUX DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE, ET A L'INVOLUTION172§ I. - Divisions homograpspanques sur une même droite. - Construction des deux points doubles et de leur point milieu172§ II. - Propositions relatives à l'involution179DEUXIÈME SECTION. - Propriétés des figures rectilignes. - Application des théories précédentes187CHAPITRE XIV. - PROBLÈME DE LA SECTION DÉTERMINÉE187CHAPITRE XV. - QUESTIONS DONT LA SOLUTION SE RAMÈNE A LA CONSTRUCTION DES POINTS DOUBLES DE DEUX DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES SUR UNE MÊME DROITE199§ I. - Exposé de la méthode199§ II. - Questions où l'on considère deux divisions homograpspanques sur deux droites. - Problèmes de la section de raison et de la section de l'espace201§ III. - Questions où l'on considère deux systèmes de deux divisions homograpspanques205§ IV. - Questions diverses206§ V. - Résolution doeun système d?équations du premier ou du second degré209CHAPITRE XVI. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX SYSTÈMES DE POINTS SITUÉS EN LIGNE DROITE. - APPLICATION A LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES214§ I. - Systèmes de points en ligne droite214§ II. - Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples219CHAPITRE XVII. - DIVERS MODES DE DESCRIPTION D?UNE DROITE PAR POINTS. - SYSTÈME DE DROITES PASSANT TOUTES PAP UN MÊME POINT226§ I. - Description doeune droite par points226§ II. - Propositions dans lesquelles on considère des droites concourantes en un même point228CHAPITRE XVIII. - PROPRIÉTÉS DU QUADRILATÈRE RELATIVES A L'INVOLUTION ET A LA DIVISION HARMONIQUE231CHAPITRE XIX. - PROPRIÉTÉS DU TRIANGLE242§ I. - Théorèmes généraux2421. Triangle coupé par une transversale2422. Triangle dans lequel trois droites menées par les sommets concourent en un même point2453. Théorèmes dans lesquels on considère à la fois un point et une droite dans le plan doeun triangle2464. Triangles inscrit et circonscrit loeun à l'autre respectivement2485. Réflexions sur le caractère des démonstrations fondées sur les théories exposées dans cet Ouvrage2506. Triangles homologiques252§ II. - Application des théorèmes précédents à la démonstration de diverses propriétés du triangle255CHAPITRE XX. - PROPRIÉTÉS DES POLYGONES EN GÉNÉRAL, DU QUADRILATÈRE ET DE L'HEXAGONE265§ I. - Propriétés des polygones266§ II. - Propriétés du quadrilatère273§ III. - Quadrilatère gauche. - Hyperholoïde à une nappe277§ IV. - Propriétés de l'hexagone280CHAPITRE XXI. - ÉQUATIONS D?UNE DROITE, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉTERMINER TOUS LES POINTS D?UNE LIGNE DROITE285§ I. - Équation entre les segments faits sur deux droites par des rayons tournant autour de deux points fixes285§ II. - Équation entre des segments faits sur plusieurs axes par des rayons tournant autour de points fixes situés en ligne droite290§ III. - Équation entre des segments faits sur un ou plusieurs rayons tournant autour de pôles fixes quelconques295CHAPITRE XXII. - ÉQUATIONS D?UN POINT, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉTERMINER UNE INFINITÉ DE DROITES ASSUJETTIES A PASSER TOUTES PAR UN MÊME POINT. - CENTRE DE GRAVITÉ D'UN SYSTÈME DE POINTS. - CENTRE DES MOYENNES HARMONIQUES.301§ I. - Équation entre les segments quoeune droite tournant autour doeun point fait sur deux axes fixes301§ II. - Équation entre les segments faits par une droite tournant autour d'un point fixe sur plusieurs droites concourantes en un même point303§ III. - Relation constante entre les perpendiculaires abaissées de plusieurs points sur une droite qui tourne autour doeun point fixe. - Centre de gravité doeun système de points306§ IV. - Centre des moyennes harmoniques doeun système de points309TROISIÈME SECTION. - Systèmes de coordonnées servant à déterminer des points ou des droites. - Figures homograpspanques, et méthode générale de déformation des figures. - Figures corrélatives, et méthode générale de transformation des figures en d?autres de genre différent.315CHAPITRE XXIII. - SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A REPRÉSENTER PAR UNE ÉQUATION TOUS LES POINTS D?UNE COURBE315CHAPITRE XXIV. - SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A REPRÉSENTER PAR UNE ÉQUATION TOUTES LES TANGENTES D?UNE COURBE327CHAPITRE XXV. - THÉORIE DES FIGURES HOMOGRAPHIQUES337§ I. - Définition et construction générale des figures homograpspanques337§ II. - Développements relatifs aux propriétés métriques des figures homograpspanques. - Nouvelles définitions de ces figures342§ III. - Figures homologiques348§ IV. - Expression analytique des figures homograpspanques356... 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SommaireTABLE DES MATIÈRES.Pages.PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITIONVPREMIÈRE SECTION. - Principes fondamentaux. - Théorie du rapport anharmonique; de la division homograpspanque et de l'involution1CHAPITRE Ier. - AVERTISSEMENT RELATIF A L'USAGE DES SIGNES + ET -, POUR DÉTERMINER LA DIRECTION DES SEGMENTS RECTILIGNES OU DES ANGLES1CHAPITRE II. - RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS, DE QUATRE DROITES ET DE QUATRE PLANS7§ I. - Premières notions7§ II. - Propriétés géométriques du rapport anharmonique11§ III. - Propriétés de quatre points situés en ligne droite et doeun faisceau de quatre droites15§ IV. - Formules pour le changement d?origine des segments rectilignes ou des angles18§ V. - Propriétés de quatre points situés sur une circonférence de cercle. - Formules fondamentales de la Trigonométrie. - Propriétés du quadrilatère inscriptible au cercle20§ VI. - Relations entre les trois rapports anharmoniques doeun système de quatre points ou doeun faisceau de quatre droites22§ VII. - Nouvelles expressions du rapport anharmonique de quatre points ou doeun faisceau de quatre droites23CHAPITRE III. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX SYSTÈMES DE QUATRE POINTS SITUÉS SUR DEUX DROITES, OU A DEUX FAISCEAUX DE QUATRE DROITES, QUI ONT UN MÊME RAPPORT ANHARMONIQUE28§ I. - Deux systèmes de quatre points28§ II. - Deux faisceaux de quatre droites31§ III. - Manières d?exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points32§ IV. - Manières d?exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droites34§ V. - Manières d?exprimer quoeun faisceau de quatre droites a son rapport anharmonique égal à celui de quatre points35CHAPITRE IV. - RAPPORT HARMONIQUE DE QUATRE POINTS OU D?UN FAISCEAU DE QUATRE DROITES37§ I. - Rapport harmonique de quatre points37§ II. - Manières d?exprimer que quatre points sont en rapport harmonique.40§ III. - Relations où entre un point arbitraire41§ IV. - Relations où entrent les points milieux des deux segments en rapport harmonique44§ V. - Relations où entrent deux points arbitraires46§ VI. - Connaissant, dans une proportion harmonique, deux points conjugués et le milieu des deux autres, trouver ceux-ci49§ VII. - Faisceau de quatre droites en rapport harmonique50§ VIII. - Relations entre quatre droites en rapport harmonique51CHAPITRE V. - DU SYSTÈME DE DEUX POINTS OU DE DEUX DROITES IMAGINAIRES54§ I. - Manière de déterminer simultanément deux points sur une droite. - Points imaginaires54§ II. - Relations entre des points réels et des points imaginaires57§ III. - Autres éléments par lesquels on peut déterminer deux points imaginaires59§ IV. - Du système de deux points imaginaires en rapport harmonique avec deux points réels61§ V. - Manière de déterminer simultanément deux droites conjuguées passant par un point donné. - Droites imaginaires62CHAPITRE VI. - THÉORIE DE LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE64§ I. - Divisions homograpspanques de deux droites. - Faisceaux homograpspanques64§ II. - Propriétés géométriques de deux droites divisées homograpspanquement, et de deux faisceaux homograpspanques67§ III. - Construction doeun quatrième point ou doeun quatrième rayon, dans deux systèmes de quatre points, ou deux faisceaux de quatre droites, dont les rapports anharmoniques sont égaux73CHAPITRE VII. - DIFFÉRENTES MANIÈRES D?EXPRIMER LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE DE DEUX DROITES OU L'HOMOGRAPHIE DE DEUX FAISCEAUX77§ I. - Division homograpspanque de deux droites77§ II. - Faisceaux homograpspanques95CHAPITRE VIII. - DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE. - FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES AYANT LE MÊME CENTRE100§ I. - Divisions homograpspanques formées sur une même droite. - Points doubles. - Point milieu des deux points doubles100§ II. - Diverses manières d?exprimerdeux divisions homograpspanques sur une même droite105§ III. - Cas où les deux points doubles coïncident107§ IV. - Propriétés de deux divisions homograpspanques dont les points doubles sont imaginaires111§ V. - Cas particulier des divisions homograpspanques sur une même droite - Divisions en involution113§ VI. - Faisceaux homograpspanques qui ont le même centre. - Rayons doubles115§ VII. - Propriétés de deux faisceaux homograpspanques dont les rayons doubles sont imaginaires117CHAPITRE IX. - THÉORIE DE L'INVOLUTION119§ I. - Involution de six points. - Relations à six et à huit segments119§ II. - Cas particuliers de l'involution de six points123§ III. - Propriétés de six points en involution. - Point central. - Points doubles129§ IV. - Construction du point central, des deux points doubles et du sixième point doeune involution136§ V. - Relation entre six points en involution, dans laquelle entre un point arbitraire141§ VI. - Manières d?exprimer l'involution par les éléments ou les équations des trois couples de points conjugués145§ VII. - Relations où entrent les points milieux des trois couples de points en involution147§ VIII.- Relations diverses149§ IX. - Relations où entrent deux points arbitraires152§ X. - De trois segments en involution, deux étant donnés avec le point milieu du troisième, déterminer celui-ci154CHAPITRE X. - DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES EN INVOLUTION157CHAPITRE XI. - FAISCEAUX EN INVOLUTION162§ I. - Faisceau de six droites en involution162§ II. - Faisceaux homograpspanques en involution164§ III. - Manières d?exprimer que deux faisceaux homograpspanques sont en involution166CHAPITRE XII. - DES DEUX POINTS QUI DIVISENT HARMONIQUEMENT DEUX SEGMENTS DONNÉS168CHAPITRE XIII. - PROPOSITIONS RELATIVES A DEUX DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE, ET A L'INVOLUTION172§ I. - Divisions homograpspanques sur une même droite. - Construction des deux points doubles et de leur point milieu172§ II. - Propositions relatives à l'involution179DEUXIÈME SECTION. - Propriétés des figures rectilignes. - Application des théories précédentes187CHAPITRE XIV. - PROBLÈME DE LA SECTION DÉTERMINÉE187CHAPITRE XV. - QUESTIONS DONT LA SOLUTION SE RAMÈNE A LA CONSTRUCTION DES POINTS DOUBLES DE DEUX DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES SUR UNE MÊME DROITE199§ I. - Exposé de la méthode199§ II. - Questions où l'on considère deux divisions homograpspanques sur deux droites. - Problèmes de la section de raison et de la section de l'espace201§ III. - Questions où l'on considère deux systèmes de deux divisions homograpspanques205§ IV. - Questions diverses206§ V. - Résolution doeun système d?équations du premier ou du second degré209CHAPITRE XVI. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX SYSTÈMES DE POINTS SITUÉS EN LIGNE DROITE. - APPLICATION A LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES214§ I. - Systèmes de points en ligne droite214§ II. - Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples219CHAPITRE XVII. - DIVERS MODES DE DESCRIPTION D?UNE DROITE PAR POINTS. - SYSTÈME DE DROITES PASSANT TOUTES PAP UN MÊME POINT226§ I. - Description doeune droite par points226§ II. - Propositions dans lesquelles on considère des droites concourantes en un même point228CHAPITRE XVIII. - PROPRIÉTÉS DU QUADRILATÈRE RELATIVES A L'INVOLUTION ET A LA DIVISION HARMONIQUE231CHAPITRE XIX. - PROPRIÉTÉS DU TRIANGLE242§ I. - Théorèmes généraux2421. Triangle coupé par une transversale2422. Triangle dans lequel trois droites menées par les sommets concourent en un même point2453. Théorèmes dans lesquels on considère à la fois un point et une droite dans le plan doeun triangle2464. Triangles inscrit et circonscrit loeun à l'autre respectivement2485. Réflexions sur le caractère des démonstrations fondées sur les théories exposées dans cet Ouvrage2506. Triangles homologiques252§ II. - Application des théorèmes précédents à la démonstration de diverses propriétés du triangle255CHAPITRE XX. - PROPRIÉTÉS DES POLYGONES EN GÉNÉRAL, DU QUADRILATÈRE ET DE L'HEXAGONE265§ I. - Propriétés des polygones266§ II. - Propriétés du quadrilatère273§ III. - Quadrilatère gauche. - Hyperholoïde à une nappe277§ IV. - Propriétés de l'hexagone280CHAPITRE XXI. - ÉQUATIONS D?UNE DROITE, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉTERMINER TOUS LES POINTS D?UNE LIGNE DROITE285§ I. - Équation entre les segments faits sur deux droites par des rayons tournant autour de deux points fixes285§ II. - Équation entre des segments faits sur plusieurs axes par des rayons tournant autour de points fixes situés en ligne droite290§ III. - Équation entre des segments faits sur un ou plusieurs rayons tournant autour de pôles fixes quelconques295CHAPITRE XXII. - ÉQUATIONS D?UN POINT, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉTERMINER UNE INFINITÉ DE DROITES ASSUJETTIES A PASSER TOUTES PAR UN MÊME POINT. - CENTRE DE GRAVITÉ D'UN SYSTÈME DE POINTS. - CENTRE DES MOYENNES HARMONIQUES.301§ I. - Équation entre les segments quoeune droite tournant autour doeun point fait sur deux axes fixes301§ II. - Équation entre les segments faits par une droite tournant autour d'un point fixe sur plusieurs droites concourantes en un même point303§ III. - Relation constante entre les perpendiculaires abaissées de plusieurs points sur une droite qui tourne autour doeun point fixe. - Centre de gravité doeun système de points306§ IV. - Centre des moyennes harmoniques doeun système de points309TROISIÈME SECTION. - Systèmes de coordonnées servant à déterminer des points ou des droites. - Figures homograpspanques, et méthode générale de déformation des figures. - Figures corrélatives, et méthode générale de transformation des figures en d?autres de genre différent.315CHAPITRE XXIII. - SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A REPRÉSENTER PAR UNE ÉQUATION TOUS LES POINTS D?UNE COURBE315CHAPITRE XXIV. - SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A REPRÉSENTER PAR UNE ÉQUATION TOUTES LES TANGENTES D?UNE COURBE327CHAPITRE XXV. - THÉORIE DES FIGURES HOMOGRAPHIQUES337§ I. - Définition et construction générale des figures homograpspanques337§ II. - Développements relatifs aux propriétés métriques des figures homograpspanques. - Nouvelles définitions de ces figures342§ III. - Figures homologiques348§ IV. - Expression analytique des figures homograpspanques356... 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